الصَّفْحَةُ 66
أَتَعَرَّفُ سِلْسِلَتَيْنِ مِنَ الْأَعْدَادِ الصَّحِيحَةِ الطَّبِيعِيَّةِ
الْمُتَنَاسِبَةِ طَرْدًا
مُقَدِّمَةُ الدَّرْسِ
أَيُّهَا التَّلَامِيذُ الْأَعِزَّاءُ، نَفْتَحُ كِتَابَنَا التَنَاسُب الطرْدِي اليَوْمَ عَلَى الصَّفْحَةِ 66
لِنَكْتَشِفَ عَالَمَ التَّنَاسُبِ الشَّيِّقَ. هَلْ تَسَاءَلْتُمْ يَوْمًا كَيْفَ تَرْتَبِطُ
الْأَشْيَاءُ بِبَعْضِهَا بِنِظَامٍ ثَابِتٍ؟ نَسْتَعْمِلُ الْأَعْدَادَ فِي حَيَاتِنَا
الْيَوْمِيَّةِ لِتَمْثِيلِ كَمِّيَّاتٍ مُخْتَلِفَةٍ مِثْلَ الثَّمَنِ، وَالْعَدَدِ،
وَالْكُتْلَةِ، وَالْمَسَافَةِ، وَالزَّمَنِ.
فَكُلَّمَا زَادَ عَدَدُ الْمُسَافِرِينَ فِي سَيَّارَةِ الْأُجْرَةِ، زَادَتِ الْمَدَاخِيلُ
بِنَفْسِ الْمِقْدَارِ، وَكُلَّمَا اشْتَرَيْنَا بَيْضًا أَكْثَرَ، دَفَعْنَا ثَمَنًا أَعْلَى
وَفْقَ قَاعِدَةٍ مُنْتَظِمَةٍ. فِي هَذَا الدَّرْسِ، سَنَتَعَلَّمُ كَيْفَ نَقْرَأُ هَذِهِ
الْعَلَاقَاتِ الرِّيَاضِيَّةَ فِي جَدَاوِلَ مُنَظَّمَةٍ، وَنَبْحَثُ عَنِ "الْمِفْتَاحِ" الَّذِي يَرْبِطُ بَيْنَ سِلْسِلَتَيْنِ مِنَ
الْأَعْدَادِ، وَهُوَ مَا نُسَمِّيهِ "مُعَامِلَ التَّنَاسُبِ".
لِنَنْطَلِقْ مَعًا فِي حَلِّ الْوَضْعِيَّاتِ وَاسْتِكْشَافِ قَوَانِينِ التَّنَاسُبِ
الطَّرْدِيِّ.
أَسْتَحْضِرُ
1 أُتِمُّ الْأَعْدَادَ النَّاقِصَةَ. أُنْجِزُ الْمَطْلُوبَ عَلَى
كُرَّاسِي.
| 90 | 120 | 180 | 60 | 270 | |
| 30 | 70 | 20 | 50 |
✏️ الْإِصْلَاحُ:
الجدول المكمل:
التفسير:
النسبة بين الصفين ثابتة = 3
القاعدة:
• نزولا من الأعلى للأسفل: قسم على 3
90 ÷ 3 = 30، 120 ÷ 3 = 40، 210 ÷ 3 = 70، 180 ÷ 3 = 60، 60 ÷ 3 = 20، 150 ÷ 3 = 50، 270 ÷ 3 = 90
• صعود من الأسفل للأعلى: اضرب في 3
30 × 3 = 90، 40 × 3 = 120، 70 × 3 = 210، 60 × 3 = 180، 20 × 3 = 60، 50 × 3 = 150، 90 × 3 = 270
| 90 | 120 | 210 | 180 | 60 | 150 | 270 |
| 30 | 40 | 70 | 60 | 20 | 50 | 90 |
النسبة بين الصفين ثابتة = 3
القاعدة:
• نزولا من الأعلى للأسفل: قسم على 3
90 ÷ 3 = 30، 120 ÷ 3 = 40، 210 ÷ 3 = 70، 180 ÷ 3 = 60، 60 ÷ 3 = 20، 150 ÷ 3 = 50، 270 ÷ 3 = 90
• صعود من الأسفل للأعلى: اضرب في 3
30 × 3 = 90، 40 × 3 = 120، 70 × 3 = 210، 60 × 3 = 180، 20 × 3 = 60، 50 × 3 = 150، 90 × 3 = 270
أَسْتَكْشِفُ
2 يَنْقُلُ صَاحِبُ سَيَّارَةِ أُجْرَةٍ الْمُسَافِرِينَ فِي سَفْرَاتٍ
مُنْتَظِمَةٍ بَيْنَ مُعْتَمَدِيَّتَيْنِ بِحِسَابِ 2 د لِلْمُسَافِرِ الْوَاحِدِ وَفِيمَا يَلِي جَدْوَلٌ
تَفْصِيلِيٌّ لِعَدَدِ الْمُسَافِرِينَ الْمَنْقُولِينَ فِي أَيَّامٍ مُتَعَاقِبَةٍ وَالْمَدَاخِيلِ الَّتِي
جَنَاهَا مِنْ هَذِهِ السَّفْرَاتِ.
| الْمَدَاخِيلُ الْمَجْنِيَّةُ مِنَ السَّفْرَاتِ بِالدِّينَارِ | 30 | 60 | 120 | 0 | ||
| عَدَدُ الْمُسَافِرِينَ الْمَنْقُولِينَ فِي أَيَّامٍ مُتَعَاقِبَةٍ | 15 | 45 | 50 | 40 |
أُتِمُّ تَعْمِيرَ الْجَدْوَلِ بِأَكْثَرَ مِنْ طَرِيقَةٍ عَلَى كُرَّاسِ
.
أُلَاحِظُ الْجَدْوَلَ وَأَسْتَنْتِجُ.
أُلَاحِظُ الْجَدْوَلَ وَأَسْتَنْتِجُ.
✏️ الْإِصْلَاحُ:
2
| الْمَدَاخِيلُ الْمَجْنِيَّةُ مِنَ السَّفْرَاتِ بِالدِّينَارِ | 30 | 90 | 60 | 100 | 120 | 80 | 0 |
| عَدَدُ الْمُسَافِرِينَ الْمَنْقُولِينَ فِي أَيَّامٍ مُتَعَاقِبَةٍ | 15 | 45 | 30 | 50 | 60 | 40 | 0 |
التَّفْسِيرُ:
النِّسْبَةُ: 1 مُسَافِرٌ = 2 دِينَارٍ
الْقَاعِدَةُ:
• لِإِيجَادِ الْمَدَاخِيلِ: عَدَدُ الْمُسَافِرِينَ × 2
45 × 2 = 90 ، 50 × 2 = 100 ، 40 × 2 = 80 ، 0 × 2 = 0
• لِإِيجَادِ عَدَدِ الْمُسَافِرِينَ: الْمَدَاخِيلُ ÷ 2
60 ÷ 2 = 30 ، 120 ÷ 2 = 60
• لِإِيجَادِ الْمَدَاخِيلِ: نَسْتَخْدِمُ الْقَاعِدَةَ الثُّلَاثِيَّةَ
(45 × 30) ÷ 15 = 90 ، (50 × 60) ÷ 30 = 100 ، (40 × 120) ÷ 60 = 80
• لِإِيجَادِ عَدَدِ الْمُسَافِرِينَ:
(60 × 15) ÷ 30 = 30 ، (120 × 50) ÷ 100 = 60
• بِالضَّرْبِ: بِمَا أَنَّ عَدَدَ الْمُسَافِرِينَ (30) هُوَ ضِعْفُ (15)، فَإِنَّ الْمَدَاخِيلَ هِيَ ضِعْفُ (30) أَيْ 60 د.
• بِالْجَمْعِ: مَدَاخِيلُ 45 مُسَافِرًا هِيَ مَجْمُوعُ مَدَاخِيلِ 15 مُسَافِرًا (30 الخلاصة:
النسبة بين الصفين ثابتة = 3
القاعدة:
• نزولا من الأعلى للأسفل: قسم على 3
90 ÷ 3 = 30، 120 ÷ 3 = 40، 210 ÷ 3 = 70، 180 ÷ 3 = 60، 60 ÷ 3 = 20، 150 ÷ 3 = 50، 270 ÷ 3 = 90
• صعود من الأسفل للأعلى: اضرب في 3
30 × 3 = 90، 40 × 3 = 120، 70 × 3 = 210، 60 × 3 = 180، 20 × 3 = 60، 50 × 3 = 150، 90 × 3 = 270 د) وَ 30 مُسَافِرًا (60 د) أَيْ: 30 + 60 = 90 د.
الطريقة 1: النسبة المباشرة
النِّسْبَةُ: 1 مُسَافِرٌ = 2 دِينَارٍ
الْقَاعِدَةُ:
• لِإِيجَادِ الْمَدَاخِيلِ: عَدَدُ الْمُسَافِرِينَ × 2
45 × 2 = 90 ، 50 × 2 = 100 ، 40 × 2 = 80 ، 0 × 2 = 0
• لِإِيجَادِ عَدَدِ الْمُسَافِرِينَ: الْمَدَاخِيلُ ÷ 2
60 ÷ 2 = 30 ، 120 ÷ 2 = 60
الطريقة 2: القاعدة الثلاثية
• لِإِيجَادِ الْمَدَاخِيلِ: نَسْتَخْدِمُ الْقَاعِدَةَ الثُّلَاثِيَّةَ
(45 × 30) ÷ 15 = 90 ، (50 × 60) ÷ 30 = 100 ، (40 × 120) ÷ 60 = 80
• لِإِيجَادِ عَدَدِ الْمُسَافِرِينَ:
(60 × 15) ÷ 30 = 30 ، (120 × 50) ÷ 100 = 60
الطَّرِيقَةُ 3 (الْخَاصِّيَّةُ الْخَطِّيَّةُ):
• بِالضَّرْبِ: بِمَا أَنَّ عَدَدَ الْمُسَافِرِينَ (30) هُوَ ضِعْفُ (15)، فَإِنَّ الْمَدَاخِيلَ هِيَ ضِعْفُ (30) أَيْ 60 د.
• بِالْجَمْعِ: مَدَاخِيلُ 45 مُسَافِرًا هِيَ مَجْمُوعُ مَدَاخِيلِ 15 مُسَافِرًا (30 الخلاصة:
النسبة بين الصفين ثابتة = 3
القاعدة:
• نزولا من الأعلى للأسفل: قسم على 3
90 ÷ 3 = 30، 120 ÷ 3 = 40، 210 ÷ 3 = 70، 180 ÷ 3 = 60، 60 ÷ 3 = 20، 150 ÷ 3 = 50، 270 ÷ 3 = 90
• صعود من الأسفل للأعلى: اضرب في 3
30 × 3 = 90، 40 × 3 = 120، 70 × 3 = 210، 60 × 3 = 180، 20 × 3 = 60، 50 × 3 = 150، 90 × 3 = 270 د) وَ 30 مُسَافِرًا (60 د) أَيْ: 30 + 60 = 90 د.
* أُلَاحِظُ الْجَدْوَلَ وَأَسْتَنْتِجُ: الْمَدَاخِيلُ مُتَنَاسِبَةٌ طَرْدًا مَعَ عَدَدِ
الْمُسَافِرِينَ، وَمُعَامِلُ التَّنَاسُبِ هُوَ 2.
أَتَدَرَّبُ
3 ثَمَنُ الْأَرْبَعِ بَيْضَاتٍ 380 مِي .
أ - أُتِمُّ تَعْمِيرَ الْجَدْوَلِ التَّالِي:.
أ - أُتِمُّ تَعْمِيرَ الْجَدْوَلِ التَّالِي:.
| عَدَدُ الْبَيْضَاتِ | 6 | 4 | 3 | 7 | ||
| ثَمَنُ الْبَيْضِ بِالْمِي | 190 | 760 |
ب - أُعَبِّرُ عَنْ ثَمَنِ الْبَيْضَةِ الْوَاحِدَةِ بِأَكْثَرَ مِنْ كِتَابَةٍ.
أُلَاحِظُ وَأَسْتَنْتِجُ ثُمَّ أُعَوِّضُ النُّقَاطَ بِمَا يُنَاسِبُ.
ج - مَاذَا أَقُولُ عَنْ ثَمَنِ الْبَيْضِ وَعَدَدِ الْبَيْضَاتِ ؟
✏️ الْإِصْلَاحُ:
أ - الجدول المكمل:
الإجابة:
| ثَمَنُ الْبَيْضِ بِالْمِي | 665 | 760 | 285 | 380 | 570 | 190 |
| عَدَدُ الْبَيْضَاتِ | 7 | 8 | 3 | 4 | 6 | 2 |
ب - التَّعْبِيرُ عَنْ ثَمَنِ الْبَيْضَةِ الْوَاحِدَةِ بِأَكْثَرَ مِنْ
كِتَابَةٍ:
$$\frac{190}{2} = \frac{285}{3} = \frac{380}{4} = \frac{570}{6} = \frac{760}{8} = \frac{665}{7} = 95 \text{ مي}$$
$$\frac{190}{2} = \frac{285}{3} = \frac{380}{4} = \frac{570}{6} = \frac{760}{8} = \frac{665}{7} = 95 \text{ مي}$$
* الملاحظة والاستنتاج:
سعر البيضة الواحدة ثابت = 95 مي
• لإيجاد الثمن: عدد البيضات × 95
• لإيجاد العدد: الثمن ÷ 95
سعر البيضة الواحدة ثابت = 95 مي
• لإيجاد الثمن: عدد البيضات × 95
• لإيجاد العدد: الثمن ÷ 95
ج - ماذا نقول عن ثمن البيضِ وعدد البيضات؟
ثمن البيضِ متناسب طردياً مع عدد البيضات، ومعامل التناسب هو 95 (سعر البيضة الواحدة).
ثمن البيضِ متناسب طردياً مع عدد البيضات، ومعامل التناسب هو 95 (سعر البيضة الواحدة).
الصَّفْحَةُ 67
4 تَسْتَهْلِكُ سَيَّارَتُنَا 8 ل مِنَ الْبَنْزِينِ فِي
كُلِّ 100 كَم.
أ- أُوَاصِلُ التَّعْبِيرَ عَنْ مُعَدَّلِ كَمِّيَّةِ الْبَنْزِينِ الْمُسْتَهْلَكَةِ بِحِسَابِ
الصِّلِ فِي 1 كَم بِأَكْثَرَ مِنْ كِتَابَةٍ.
$$\frac{8}{100} = \frac{\_\_}{200} = \frac{24}{300} = \frac{\_\_}{\_\_} = \frac{\_\_}{\_\_} =
\frac{\_\_}{\_\_} = \_\_\_$$
✏️ الْإِصْلَاحُ:
المعطى: السيارة تستهلك 8 لتر من البنزين في كل 100 كم
الكتابات المكافئة (أعداد كسرية):
الشرح:
•
• أولاٌ نحوّل 8 ل = 800 صل
• جميع هذه الكتابات تمثل النسبة نفسها
• $$\frac{800}{100} = \frac{1600}{200}$$ (800 × 2 = 1600 و 100 × 2 = 200 بضرب البسط والمقام بنفس العدد )
• كذلك $$\frac{800}{100} = \frac{1600}{200} = \frac{2400}{300}$$ (800 × 3 = 2400 و 100 × 3 = 300 بضرب البسط والمقام بنفس العدد )
• كذلك $$\frac{800}{100} = \frac{1600}{200} = \frac{2400}{300} = \frac{4000}{500}$$ (800 × 5 = 4000 و 5 = 500 بضرب البسط والمقام بنفس العدد )
•
• نَسْتَخْدِمُ الْقَاعِدَةَ الثُّلَاثِيَّةَ
(800 × 200) ÷ 100 = 1600 ، (2400 × 100) ÷ 800 = 300
الكتابات المكافئة (أعداد كسرية):
| $$\frac{800}{100}$$ | $$\frac{1600}{200}$$ | $$\frac{2400}{300}$$ | $$\frac{3200}{400}$$ | $$\frac{4000}{500}$$ | $$\frac{200}{25}$$ |
•
الطريقة 1: ضرب البسط والمقام بنفس العدد
• أولاٌ نحوّل 8 ل = 800 صل
• جميع هذه الكتابات تمثل النسبة نفسها
• $$\frac{800}{100} = \frac{1600}{200}$$ (800 × 2 = 1600 و 100 × 2 = 200 بضرب البسط والمقام بنفس العدد )
• كذلك $$\frac{800}{100} = \frac{1600}{200} = \frac{2400}{300}$$ (800 × 3 = 2400 و 100 × 3 = 300 بضرب البسط والمقام بنفس العدد )
• كذلك $$\frac{800}{100} = \frac{1600}{200} = \frac{2400}{300} = \frac{4000}{500}$$ (800 × 5 = 4000 و 5 = 500 بضرب البسط والمقام بنفس العدد )
•
الطريقة 2: القاعدة الثلاثية
• نَسْتَخْدِمُ الْقَاعِدَةَ الثُّلَاثِيَّةَ
(800 × 200) ÷ 100 = 1600 ، (2400 × 100) ÷ 800 = 300
ب - أَبْنِي جَدْوَلًا يَتَضَمَّنُ هَذِهِ الْكِتَابَاتِ.
✏️ الْإِصْلَاحُ:
الجدول الذي يتضمن الكتابات المكافئة:
الكتابات المكافئة من الجدول:
$$\frac{800}{100} = \frac{1600}{200} = \frac{2400}{300} = \frac{3200}{400} = \frac{4000}{500} = \frac{200}{25} = 8$$
| المسافة (كم) | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 | 25 |
| كمية البنزين (صل) | 800 | 1600 | 2400 | 3200 | 4000 | 200 |
$$\frac{800}{100} = \frac{1600}{200} = \frac{2400}{300} = \frac{3200}{400} = \frac{4000}{500} = \frac{200}{25} = 8$$
5 أُلَاحِظُ سِلْسِلَتَيِ الْأَعْدَادِ :
السِّلْسِلَةُ عَدَد 1 : { 15 ، 30 ، 60 ، 80 ، 100 }
السِّلْسِلَةُ عَدَد 2 : { 3 ، 6 ، 12 ، 80 ، 20 }
السِّلْسِلَةُ عَدَد 2 : { 3 ، 6 ، 12 ، 80 ، 20 }
هَلْ أَنَّ أَعْدَادَ السِّلْسِلَةِ الْأُولَى مُتَنَاسِبَةٌ طَرْدًا وَتِبَاعًا مَعَ أَعْدَادِ
السِّلْسِلَةِ الثَّانِيَةِ ؟ أُعَلِّلُ إِجَابَتِي حِسَابِيًّا.
✏️ الْإِصْلَاحُ:
الإجابة: لا، السلسلتان غير متناسبتان
التحليل:
السبب: النسبة ليست ثابتة - القيمة الرابعة (1) تخالف النسب الأخرى (5)
الترتيب الصحيح لجعل السلسلتين متناسبتين: {20, 40, 60, 80, 100} و {4, 8, 12, 16, 20}
التحليل:
| السِّلْسِلَةُ 1 | 15 | 30 | 60 | 80 | 100 |
| السِّلْسِلَةُ 2 | 3 | 6 | 12 | 80 | 20 |
| النسبة | 15÷3=5 | 30÷6=5 | 60÷12=5 | 80÷80=1 ✗ | 100÷20=5 |
الترتيب الصحيح لجعل السلسلتين متناسبتين: {20, 40, 60, 80, 100} و {4, 8, 12, 16, 20}
6 أ- أَنْسَخُ الْجَدْوَلَ التَّالِيَ وَأُتِمُّ
تَعْمِيرَهُ دُونَ اسْتِعْمَالِ الضَّرْبِ وَالْقِسْمَةِ.
| كُتْلَةُ حَبِّ الزَّيْتُونِ الْمَعْصُورِ بِالْكِغ | 200 | 500 | 300 | 400 | 600 |
| كَمِّيَّةُ الزَّيْتِ الْمُتَحَصَّلِ عَلَيْهِ بِالْكِغ | 50 | 75 | 175 |
الصَّفْحَةُ 68
✏️ الْإِصْلَاحُ:
الجدول المكمل:
التفسير:
النسبة: كل 400 كغ زيتون = 100 كغ زيت ( أي 1 كغ زيت من 4 كغ زيتون. 4 كغ زيتون ← 1 كغ زيت)
• من 200 كغ: 200 ÷ 4 = 50 كغ زيت
• من 500 كغ: 500 ÷ 4 = 125 كغ زيت
• من 300 كغ: 300 ÷ 4 = 75 كغ زيت
• من 600 كغ: 600 ÷ 4 = 150 كغ زيت
| كُتْلَةُ حَبِّ الزَّيْتُونِ (كغ) | 200 | 500 | 300 | 400 | 600 |
| كَمِّيَّةُ الزَّيْتِ (كغ) | 50 | 125 | 75 | 100 | 150 |
النسبة: كل 400 كغ زيتون = 100 كغ زيت ( أي 1 كغ زيت من 4 كغ زيتون. 4 كغ زيتون ← 1 كغ زيت)
400 ÷ 100 = 4
أي كل 4 كغ زيتون تعطي 1 ل من الزيت
الطريقة:• من 200 كغ: 200 ÷ 4 = 50 كغ زيت
• من 500 كغ: 500 ÷ 4 = 125 كغ زيت
• من 300 كغ: 300 ÷ 4 = 75 كغ زيت
• من 600 كغ: 600 ÷ 4 = 150 كغ زيت
ب - أَتَحَقَّقُ مِنْ صِحَّةِ النَّتَائِجِ الَّتِي تَوَصَّلْتُ إِلَيْهَا بِاسْتِعْمَالِ
عَمَلِيَّةِ الْقِسْمَةِ فَقَطْ .
✏️ الْإِصْلَاحُ:
التحقّق:
• من 200 كغ: 200 ÷ 4 = 50 كغ زيت
• من 500 كغ: 500 ÷ 4 = 125 كغ زيت
• من 300 كغ: 300 ÷ 4 = 75 كغ زيت
• من 600 كغ: 600 ÷ 4 = 150 كغ زيت
• من 200 كغ: 200 ÷ 4 = 50 كغ زيت
• من 500 كغ: 500 ÷ 4 = 125 كغ زيت
• من 300 كغ: 300 ÷ 4 = 75 كغ زيت
• من 600 كغ: 600 ÷ 4 = 150 كغ زيت
ج -
✏️ الْإِصْلَاحُ:
ج: $$\frac{200}{50} = \frac{300}{75}$$
المُقَارَنَةُ
$$75 \times 200 = 50 \times 300$$
د - أُعِيدُ نَفْسَ الْعَمَلِ بِأَمْثِلَةٍ أُخْرَى مِنَ الْجَدْوَلِ السَّابِقِ .
هـ - أَبْحَثُ عَنِ الْعَدَدِ الْمَجْهُولِ بِطَرِيقَتَيْنِ مُخْتَلِفَتَيْنِ.
$$\frac{200}{50} = \frac{300}{\_\_}$$
$$\frac{500}{\_\_} = \frac{300}{75}$$
$$\frac{500}{\_\_} = \frac{300}{75}$$
✏️ الْإِصْلَاحُ:
البحث عن الأعداد المجهولة بطريقتين:
المعادلة 1: $$\frac{200}{50} = \frac{300}{\_\_}$$
• إذن: $$\frac{300}{\_\_} = 4$$
• العدد المفقود = $$300 ÷ 4 = 75$$
• $$200 × \_\_ = 15000$$
• العدد المفقود = $$15000 ÷ 200 = 75$$
الإجابة: $$\frac{200}{50} = \frac{300}{75}$$
الطريقة 1: القسمة المباشرة
• نحسب النسبة من الجهة الأولى: $$\frac{200}{50} = 4$$• إذن: $$\frac{300}{\_\_} = 4$$
• العدد المفقود = $$300 ÷ 4 = 75$$
الطريقة 2: الضرب المتقاطع
• $$200 × \_\_ = 50 × 300$$• $$200 × \_\_ = 15000$$
• العدد المفقود = $$15000 ÷ 200 = 75$$
الإجابة: $$\frac{200}{50} = \frac{300}{75}$$
المعادلة 2: $$\frac{500}{\_\_} = \frac{300}{75}$$
• إذن: $$\frac{500}{\_\_} = 4$$
• العدد المفقود = $$500 ÷ 4 = 125$$
• $$37500 = 300 × \_\_$$
• العدد المفقود = $$37500 ÷ 300 = 125$$
الإجابة: $$\frac{500}{125} = \frac{300}{75}$$
الطريقة 1: القسمة المباشرة
• نحسب النسبة من الجهة الثانية: $$\frac{300}{75} = 4$$• إذن: $$\frac{500}{\_\_} = 4$$
• العدد المفقود = $$500 ÷ 4 = 125$$
الطريقة 2: الضرب المتقاطع
• $$500 × 75 = 300 × \_\_$$• $$37500 = 300 × \_\_$$
• العدد المفقود = $$37500 ÷ 300 = 125$$
الإجابة: $$\frac{500}{125} = \frac{300}{75}$$
7 قَالَ أَحَدُ الْفَلَّاحِينَ : « تَأَكَّدْتُ مِنْ
جَوْدَةِ هَذَا الْقَمْحِ فَقَدْ أَعْطَتْنِي 3 قَنَاطِيرَ مِنْ هَذَا النَّوْعِ 240 كِغ مِنَ
الدَّقِيقِ.
أ- أَنْسَخُ هَذَا الْجَدْوَلَ وَأُتِمُّ تَعْمِيرَهُ بِاسْتِعْمَالِ الضَّرْبِ وَالْقِسْمَةِ
فِي كُلِّ مَرَّةٍ.
| كُتْلَةُ هَذَا النَّوْعِ مِنَ الْقَمْحِ بِالْكِغ | 300 | 500 | 200 | 600 | |
| كُتْلَةُ الدَّقِيقِ الَّذِي يُعْطِيهِ بِالْكِغ | 320 | 560 |
ب - أَتَحَقَّقُ مِنْ صِحَّةِ النَّتَائِجِ الَّتِي تَوَصَّلْتُ إِلَيْهَا بِطَرِيقَةٍ أُخْرَى
.
✏️ الْإِصْلَاحُ:
الجدول المكمل:
| كُتْلَةُ الْقَمْحِ (كغ) | 300 | 500 | 200 | 600 | 700 |
| كُتْلَةُ الدَّقِيقِ (كغ) | 240 | 400 | 160 | 320 | 560 |
8 قَالَ حَلْوَانِيٌّ : «يَسْتَوْجِبُ صُنْعُ كَعْكَةِ
مُرَطَّبَاتٍ لِخَمْسَةِ أَشْخَاصٍ 300 غ مِنَ الدَّقِيقِ».
أ- أَنْسَخُ الْجَدْوَلَ التَّالِيَ وَأُتِمُّ تَعْمِيرَهُ.
| عَدَدُ الْأَشْخَاصِ | 3 | 7 | |
| كُتْلَةُ الدَّقِيقِ الْمُسْتَعْمَلَةُ بِالْغَرَامِ | 300 | 240 | 480 |
✏️ الْإِصْلَاحُ (أ):
الحسابات:
• 300 ÷ 5 = 60 غ/شخص
• 3 × 60 = 180 غ
• 7 × 60 = 420 غ
• 300 ÷ 5 = 60 غ/شخص
• 3 × 60 = 180 غ
• 7 × 60 = 420 غ
ب - مَا هُوَ عَامِلُ التَّنَاسُبِ بَيْنَ أَعْدَادِ هَاتَيْنِ الْقَائِمَتَيْنِ ؟
✏️ الْإِصْلَاحُ (ب):
معامل التناسب:
$$\frac{300}{5} = \frac{180}{3} = \frac{420}{7} = 60 \text{ غ/شخص}$$
$$\frac{300}{5} = \frac{180}{3} = \frac{420}{7} = 60 \text{ غ/شخص}$$
ج - أَعْتَمِدُهُ فِي التَّحَقُّقِ مِنْ صِحَّةِ النَّتَائِجِ الَّتِي تَوَصَّلْتُ إِلَيْهَا.
✏️ الْإِصْلَاحُ (ج):
التحقق:
• 5 × 60 = 300 ✓
• 3 × 60 = 180 ✓
• 7 × 60 = 420 ✓
• 5 × 60 = 300 ✓
• 3 × 60 = 180 ✓
• 7 × 60 = 420 ✓
الصَّفْحَةُ 69
أُوَضِّفُ
9 قَدَّمَتْ أَمَلُ هَاتَيْنِ الْمَجْمُوعَتَيْنِ مِنَ الْأَعْدَادِ،
وَقَالَتْ إِنَّ أَعْدَادَ الْمَجْمُوعَةِ الْأُولَى مُتَنَاسِبَةٌ طَرْدًا وَتِبَاعًا مَعَ أَعْدَادِ
الْمَجْمُوعَةِ الثَّانِيَةِ، إِلَّا أَنَّهَا نَسِيَتْ تَنْظِيمَهَا.
{ 80 ؛ 100 ؛ 20 ؛ 40 ؛ 60 } و { 8 ؛ 16 ؛ 20 ؛ 12 ؛ 4 }
أُسَاعِدُ أَمَلَ عَلَى تَنْظِيمِ أَعْدَادِ كُلِّ مَجْمُوعَةٍ لِلْحُصُولِ عَلَى سِلْسِلَتَيْنِ مِنَ
الْأَعْدَادِ الْمُتَنَاسِبَةِ طَرْدًا وَتِبَاعًا.
أَتَحَقَّقُ مِنْ صِحَّةِ ذَلِكَ بِأَكْثَرَ مِنْ طَرِيقَةٍ.
أَتَحَقَّقُ مِنْ صِحَّةِ ذَلِكَ بِأَكْثَرَ مِنْ طَرِيقَةٍ.
✏️ الْإِصْلَاحُ:
التمرين 9 (تنظيم السلاسل):
الترتيب الصحيح:
التحقق من التناسب:
النسبة بين الصفين ثابتة = 5
• 20 ÷ 4 = 5
• 40 ÷ 8 = 5
• 60 ÷ 12 = 5
• 80 ÷ 16 = 5
• 100 ÷ 20 = 5
إذاً: السلسلتان متناسبتان طردياً ✓
الترتيب الصحيح:
| السِّلْسِلَةُ 1 | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 |
| السِّلْسِلَةُ 2 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 |
النسبة بين الصفين ثابتة = 5
• 20 ÷ 4 = 5
• 40 ÷ 8 = 5
• 60 ÷ 12 = 5
• 80 ÷ 16 = 5
• 100 ÷ 20 = 5
إذاً: السلسلتان متناسبتان طردياً ✓
10 لَاحَظَ ضِيَاءُ أَنَّ مِدْفَأَتَهُمُ الْكَهْرَبَائِيَّةَ
تَسْتَهْلِكُ
4800 وَاطٍ مِنَ الْكَهْرَبَاءِ عِنْدَمَا يَتِمُّ تَشْغِيلُهَا لِمُدَّةِ 4 سَاعَاتٍ وَأَنَّ ثَمَنَ
الْكِيلُوَاطِ بِـ 97 مِي (1 كِيلُوَاط = 1000 وَاط) فَأَعَدَّ هَذَا الْجَدْوَلَ الْأُسْبُوعِيَّ
لِيَضْبِطَ
فِيهِ كَمِّيَّاتِ الْكَهْرَبَاءِ الْمُسْتَهْلَكَةَ لِلتَّدْفِئَةِ.
| الْأَيَّامُ | الِاثْنَانِ | الثُّلَاثَاءُ | الْأَرْبَعَاءُ | الْخَمِيسُ | الْجُمُعَةُ | السَّبْتُ | الْأَحَدُ |
| كَمِّيَّةُ الْكَهْرَبَاءِ الْمُسْتَهْلَكَةُ بِالْوَاطِ | .... | .... | .... | .... | .... | .... | .... |
| الْمُدَّةُ الزَّمَنِيَّةُ بِالسَّاعَةِ | 4 | 2 | 3 | 6 | 5 | 7 | 8 |
أ - أُسَاعِدُ ضِيَاءَ عَلَى تَعْمِيرِ الْجَدْوَلِ بِأَكْثَرَ مِنْ طَرِيقَةٍ (عَلَى كُرَّاسِ
الْمُحَاوَلَاتِ).
ب - أَحْسُبُ تَكَالِيفَ التَّدْفِئَةِ خِلَالَ هَذَا الْأُسْبُوعِ .
ب - أَحْسُبُ تَكَالِيفَ التَّدْفِئَةِ خِلَالَ هَذَا الْأُسْبُوعِ .
✏️ الْإِصْلَاحُ:
الجدول المكمل (استهلاك الكهرباء الأسبوعي):
التفسير:
المدفأة تستهلك 4800 وات في 4 ساعات
معدل الاستهلاك = 4800 ÷ 4 = 1200 وات/ساعة
الطريقة:
• الاثنين: 4 × 1200 = 4800 وات
• الثلاثاء: 2 × 1200 = 2400 وات
• الأربعاء: 3 × 1200 = 3600 وات
• الخميس: 6 × 1200 = 7200 وات
• الجمعة: 5 × 1200 = 6000 وات
• السبت: 7 × 1200 = 8400 وات
• الأحد: 8 × 1200 = 9600 وات
التكلفة الأسبوعية = (4800 + 2400 + 3600 + 7200 + 6000 + 8400 + 9600) ÷ 1000 × 97 = 4,684.76 مي
| الْأَيَّامُ | الِاثْنَانِ | الثُّلَاثَاءُ | الْأَرْبَعَاءُ | الْخَمِيسُ | الْجُمُعَةُ | السَّبْتُ | الْأَحَدُ |
| الْمُدَّةُ (سَاعَة) | 4 | 2 | 3 | 6 | 5 | 7 | 8 |
| الاستهلاك (وات) | 4800 | 2400 | 3600 | 7200 | 6000 | 8400 | 9600 |
المدفأة تستهلك 4800 وات في 4 ساعات
معدل الاستهلاك = 4800 ÷ 4 = 1200 وات/ساعة
الطريقة:
• الاثنين: 4 × 1200 = 4800 وات
• الثلاثاء: 2 × 1200 = 2400 وات
• الأربعاء: 3 × 1200 = 3600 وات
• الخميس: 6 × 1200 = 7200 وات
• الجمعة: 5 × 1200 = 6000 وات
• السبت: 7 × 1200 = 8400 وات
• الأحد: 8 × 1200 = 9600 وات
التكلفة الأسبوعية = (4800 + 2400 + 3600 + 7200 + 6000 + 8400 + 9600) ÷ 1000 × 97 = 4,684.76 مي
خَاتِمَةُ الدَّرْسِ
فِي خِتَامِ حِصَّتِنَا اليَوْمَ، نَسْتَنْتِجُ أَنَّ بَيْنَ سِلْسِلَتَيْنِ مِنَ الْأَعْدَادِ يَعْنِي أَنَّ النِّسْبَةَ
بَيْنَهُمَا تَبْقَى ثَابِتَةً لَا تَتَغَيَّرُ. لَقَدْ تَمَكَّنَّا مِنْ تَعْمِيرِ الْجَدَاوِلِ
بِطُرُقٍ مُخْتَلِفَةٍ، سَوَاءً بِاسْتِعْمَالِ الضَّرْبِ وَالْقِسْمَةِ، أَوْ بِالاعْتِمَادِ عَلَى
الْخَاصِّيَّةِ الْخَطِّيَّةِ وَالْقَاعِدَةِ الثُّلَاثِيَّةِ.
تَذَكَّرُوا دَائِمًا أَنَّ أَيَّ خَلَلٍ فِي هَذِهِ النِّسْبَةِ يَعْنِي غِيَابَ التَّنَاسُبِ.
هَذِهِ الْمَهَارَةُ لَيْسَتْ مُجَرَّدَ أَرْقَامٍ، بَلْ هِيَ نَسْتَخْدِمُهَا فِي حَيَاتِنَا
الْيَوْمِيَّةِ لِحِسَابِ الْمَثَامِينِ، وَالْمَسَافَاتِ، وَتَكَالِيفِ الِاسْتِهْلَاكِ بِدِقَّةٍ
وَنِظَامٍ.
علي الزاهد
أَسْئِلَةٌ شَائِعَةٌ حَوْلَ دَرْسِ التَّنَاسُبِ
إليك أهم المفاهيم والحلول المستخرجة من تمارين الكتاب
أنقر على السؤال للحصول على الإجابة
ما هو المفهوم الأساسي لدرس الصفحة 66؟
التعرف على سلسلتين من الأعداد الصحيحة الطبيعية المتناسبة طرداً وفهم العلاقة بينهما.
ماذا يُطلق على "المفتاح" العددي الذي يربط بين
السلسلتين؟
يُطلق عليه "مُعَامِل التناسب"، وهو القيمة الثابتة التي نستخدمها للتحويل بين أعداد الصفين بالضرب
أو
القسمة.
في مسألة سيارة الأجرة، كيف نحسب المداخيل؟
بما أن معامل التناسب هو 2، فإننا نضرب عدد المسافرين في 2 للحصول على المداخيل بالدينار.
كيف نعبر عن ثمن البيضة الواحدة في تمرين 3؟
ثمن البيضة الواحدة ثابت وهو 95 مي، ويتم حسابه بقسمة الثمن الإجمالي على عدد البيضات (مثال: 190 ÷
2 = 95).
كم كيلو غراماً من الدقيق نحصل عليه من 500 كغ من
القمح؟
نحصل على 400 كغ، لأن معامل التناسب هو 0.8، وبعملية الضرب: 500 × 0.8 = 400.
